给定双曲线x2-y2/2=1 过点A(2,1)的直线与所给双曲线交于两点P1 P2 如果A点是弦P1P2的中点,求直线l的方程如题
问题描述：
给定双曲线x2-y2/2=1 过点A(2,1)的直线与所给双曲线交于两点P1 P2 如果A点是弦P1P2的中点,求直线l的方程
如题
答
设P1(x,y),因为A(2,1)为中点，则P2(4-x,2-y)；
P1,P2在双曲线上；所以：x²-y²/2=1; (4-x)²-(2-y)²/2=1
即P1P2是上面两双曲线的公共弦，两方程相减得：2x-y-3=0为所求。
答
设P1(2+a,1+b),P2(2-a,1-b)
分别代入双曲线方程
(2+a)^2-(1+b)^2/2=1 ①
(2-a)^2-(1-b)^2/2=1 ②
①-②得，8a-2b=0
b/a=4
即l的斜率k=4
l：y-1=4(x-2) 或：y=4x-7
答
设直线l的方程为y-1=k(x-2),y=kx-2k+1,代入双曲线方程得：
(2-k^2)x^2+(4k^2-2k)x-4k^2+4k-3=0.
设P1(x1,y1)、P2(x2,y2).
x1+x2=-(4k^2-2k)/(2-k^2).
点A这P1P2的中点,所以(x1+x2)/2=2,即x1+x2=4.
-(4k^2-2k)/(2-k^2)=4,解得：k=4.
直线l的方程为y=4(x-2)+1、y=4x-7.