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数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1=a1，bn=an-an-1（n≥2），若an+Sn=n．（1）设cn=an-1，求证：数列{cn}是等比数列；（2）求数列{bn}的通项公式．

分类: 作业答案 • 2021-12-29 16:12:17

问题描述：

数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}中，b₁=a₁，b_n=a_n-a_n-1（n≥2），若a_n+S_n=n．
（1）设c_n=a_n-1，求证：数列{c_n}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的通项公式．

答

（1）证明：∵a₁=S₁，a_n+S_n=n，∴a₁+S₁=1，得a₁=

1

2

．
又a_n+1+S_n+1=n+1，两式相减得2（a_n+1-1）=a_n-1，即

an+1−1

an−1

=

1

2

，
也即

cn+1

cn

=

1

2

，故数列{c_n}是等比数列．
（2）∵c₁=a₁-1=-

1

2

，
∴c_n=-

1

2n

，a_n=c_n+1=1-

1

2n

，a_n-1=1-

1

2n−1

．
故当n≥2时，b_n=a_n-a_n-1=

1

2n−1

-

1

2n

=

1

2n

．
又b₁=a₁=

1

2

，即b_n=

1

2n

（n∈N^*）．