已知f(x)=2sin4x+2cos4x+cos22x-3. (1)求函数f(x)的最小正周期. (2)求函数f(x)在闭区间[π16,3π16]上的最小值并求当f(x)取最小值时,x的取值集合.

问题描述:

已知f(x)=2sin4x+2cos4x+cos22x-3.
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)求函数f(x)在闭区间[

π
16
16
]上的最小值并求当f(x)取最小值时,x的取值集合.

f(x)=2(sin2x+cos2x)2-4sin2xcos2x+cos22x-3
=2×1-sin22x+cos22x-3
=cos22x-sin22x-1
=cos4x-1
(1)函数的最小正周期T=

4
=
π
2

(2)x∈[
π
16
16
]
  4x∈[
π
4
4
]
∴f(x)=cos4x-1在[
π
16
16
]是减函数
 当x=
16

f(x)有最小值f(
16
)=cos
4
-1=-
2
2
-1,此时x的集合是{
4
}