设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.1.求a1的值,2.求证数列{an}为等差数列,并求出数列{an}的通项公式
问题描述：
设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.1.求a1的值,2.求证数列{an}为等差数列,并求出数列{an}的通项公式
答
答：1.因为an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项 所以(an+2)/2=√(2Sn)
因为a1=S1 所以(a1+2)/2=√(2Sn)=√(2a1) 所以a1=2
2.因为(an+2)/2=√(2Sn) 所以两边平方得到(an+2)^2=8Sn
所以8Sn=an^2+4an+4
所以递推得到8S(n-1)=a(n-1)^2+4a(n-1)+4
所以两个式子相减得到an^2+4an-a(n-1)^2-4a(n-1)=8an
所以an^2-4an-a(n-1)^2-4a(n-1)=0 所以(an^2-a(n-1)^2)-4(an+a(n-1))=0
所以(an+a(n-1))(an-a(n-1)-4)=0
因为{an}是正数组成的数列 所以an+a(n-1)不可能为0
所以an-a(n-1)-4=0 所以an-a(n-1)=4
所以{an}是等差数列 公差d=4
因为a1=2 所以an=4n-2