在平面直角坐标系xoy中,点p到两点(0,根号3)(0,负根号3)的距离之和为4,设点p的轨迹为C十万火急!(1)求C的轨迹方程(2)设直线y=kx+1与曲线C交于AB两点,求k为何值时向量OA垂直于向量OB?

问题描述:

在平面直角坐标系xoy中,点p到两点(0,根号3)(0,负根号3)的距离之和为4,设点p的轨迹为C
十万火急!(1)求C的轨迹方程(2)设直线y=kx+1与曲线C交于AB两点,求k为何值时向量OA垂直于向量OB?

  • (1) 设两点分别为F1,F2   

  •       则 |PF1|+|PF2|=4

  •       根据椭圆的第一定义可知P的轨迹C为椭圆

  •      ∴ 2a = 4 → a = 2   ,c = √3

  •           b² = a² - b² = 1

  •      ∴ C:y² / 4 +x² = 1

  • (2) 设 A (x1,y1) ,B (x2,y2)

  •      ∵ 向量OA⊥向量OB 即 OA⊥OB

  •      ∴y1y2 /x1x2 = -1

  •     (联立) ┌ y = kx + 1

  •                └ x² + y² / 4 = 1

  •         得 (4 + k² ) x² + 2kx - 3 = 0

  •         得   x1x2 = -3 /4 + k²

  • 同理可得 y1y2 = 4(1 - k²)/4 + k² 

  •   则 y1y2/x1x2 = -[ 4(1 - k²)/(4+k²) ×  (4 + k²) / 3  ] = -1

  •   ∴ 4(1 - k)/3 = 1

  •   ∴1-k²= 3/4  →  k² = 1/4  →  k = ± 1/2

  •   ∴当K= ±1/2 时 向量OA⊥向量OB

  •  

  •  

  • 以下为同理详

  •   (联立) ┌ y = kx + 1

  •             └ x² + y² / 4 = 1

  •      得  y²/4 + (y+1)²/k² = 1

  •      得 (4 + k²)y² + 8y + 4(1-k²) = 0

  •      得 y1y2 = 4(1 - k²)/4 + k²

  • v

  • 写了这么多总可以给我分吧??

(1)p的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,长轴为y轴,长半轴为4/2=2,焦距为√3,短半轴为√[2^2-(√3)^2]=1,所以p的轨迹方程为x^2/1^2+y^2/2^2=1,即x^2+y^2/4=1①.(2)将y=kx+1代入①,得两个交点的坐标分别为x1=[2√(3+k^2)-k]/(4+k^2)、y1=[2k√(3+k^2)+4]/(4+k^2);x2=[-2√(3+k^2)-k]/(4+k^2)、y2=[-2k√(3+k^2)+4]/(4+k^2);如果OA⊥OB,那么有(y1/x1)×(y2/x2)=-1②,将x1、y1,x2、y2代入②得k=±1/2③,即所求直线有两条,分别为y=x/2+1和y=-x/2+1.