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设数列{an}满足当n＞1时，an＝an−11+4an−1，且a1＝1/5． （1）求证：数列{1/an}为等差数列； （2）试问a1a2是否是数列{an}中的项．如果是，是第几项；如果不是，说明理由．

分类: 作业答案 • 2021-12-29 15:51:29
问题描述：

设数列{an}满足当n＞1时，an＝

an−1
1+4an−1
，且a1＝
1
5
．
（1）求证：数列{
1
an
}为等差数列；
（2）试问a1a2是否是数列{an}中的项．如果是，是第几项；如果不是，说明理由．

答

（1）根据题意a1＝

1
5
及递推关系有an≠0，因为an＝
an−1
1+4an−1
，
取倒数得：
1
an
＝
1
an−1
+4，即
1
an
−
1
an−1
＝4(n＞1)
所以数列{
1
an
}是首项为5，公差为4的等差数列．
（2）由（1）得：
1
an
＝5+4(n−1)＝4n+1，an＝
1
4n+1

又a1a2＝
1
5
×
1
9
＝
1
45
＝
1
4n+1
⇒n＝11．
所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．

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