若不等式3x2+2x+2x2+x+1＞k对一切实数x恒成立，求k的取值范围．
问题描述：
若不等式
＞k对一切实数x恒成立，求k的取值范围． 3x2+2x+2
x2+x+1
答
∵x2+x+1＞0恒成立，
∴不等式恒成立，
则不等式等价为3x2+2x+2＞k（x2+x+1），
即（3-k）x2+（2-k）x+2-k＞0恒成立，
若k=3，则不等式等价为-x-1＞0，即x＜-1，不满足条件．
若k≠3，要使不等式恒成立，则满足
，
3−k＞0 △＝(2−k)2−4(3−k)(2−k)＜0
即
，
k＜3 (k−2)(3k−10)＞0
∴
，
k＜3 k＞
或k＜210 3
即k＜2．
答案解析：将不等式恒成立转化为一元二次不等式恒成立，利用判别式△＜0，即可得到结论．
考试点：函数恒成立问题．
知识点：本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式转化为一元二次不等式是解决本题的关键，注意讨论二次项系数是否为0．