已知函数f（x）=bx+12x+a，a、b为常数，且ab≠2，若对一切x恒有f（x）f（1x）=k（k为常数）则k=______．
问题描述：
已知函数f（x）=
，a、b为常数，且ab≠2，若对一切x恒有f（x）f（bx+1 2x+a
）=k（k为常数）则k=______． 1 x
答
∵f（x）=
，∴f（bx+1 2x+a
）=1 x
=b
+11 x 2
+a1 x
，b+x 2+ax
则f（x）f（
）=1 x
•bx+1 2x+a
b+x 2+ax
则f（x）f（
）-k=1 x
(bx+1)(b+x)−k(2x+a)(2+ax) (2x+a)(2+ax)
=
=0恒成立．(b−2ak)x2+(b2+1−4k−ka2)x+b−2ak (2x+a)(2+ax)
则
消去b可得
b−2ak＝0
b2+1−4k−a2k＝0
4a2k2-（4+a2）k+1=0，
解得，k=
，k=1 4
．1 a2
若k=
，则b=2ak=1 a2
，则ab=2，2 a
与ab≠2相矛盾，舍去．
则k=
．1 4
故答案为
．1 4
答案解析：由f（x）求出f（
），再由f（x）f（1 x
）=k化简求出k值，而后验证．1 x
考试点：函数恒成立问题．
知识点：本题考查了函数与恒成立问题，化简很容易出错，要细致．