设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数． （1）若f（x）在（2，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（2，+∞）上有最小值，求a的取值范围； （2）若g（x）在（0，+∞）上是单调增函数
问题描述：
设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数．
（1）若f（x）在（2，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（2，+∞）上有最小值，求a的取值范围；
（2）若g（x）在（0，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．
答
（1）f（x）在（2，+∞）上是单调减函数，
则当x∈（2，+∞），f′（x）=
-a≤0恒成立，a≥1 x
恒成立，1 x
∴a≥(
)max＝1 x
．1 2
令g′（x）=ex-a=0，得x=ln a．
当x＜ln a时，g′（x）＜0；当x＞ln a时，g′（x）＞0．
又g（x）在（2，+∞）上有最小值，
所以ln a＞2，即a＞e2．
综上，有a∈（e2，+∞）．
（2）当x∈（0，+∞），g′（x）=ex-a≥0恒成立，a≤（ex）min，∴a≤1
令f（x）=0，a＝
，设h(x)＝lnx x
，h/(x)＝lnx x
(x＞0)，1−lnx x2
令h′（x）=0，x=e
当x∈（0，e），h′（x）＞0，h（x）在（0，e）上单调递增
当x∈（e，+∞），h′（x）＜0，h（x）在（e，+∞）上单调递减，
∴h(x)的最大值为h(e)＝
1 e
h（x）的大致图象如图所示：
当
＜a≤1时无零点，0＜a＜1 e
时，两个零点，a≤0，a＝1 e
时一个零点．1 e