在直角坐标系中,过点A(1,2)且斜率小于0的直线中,当在两轴上截距之和最小时,求该直线斜率及方程.

问题描述:

在直角坐标系中,过点A(1,2)且斜率小于0的直线中,当在两轴上截距之和最小时,求该直线斜率及方程.

设直线方程为y-2=k(x-1),在x,y轴两轴上截距分别为a,b (k<0),
令x=0,得b=2-k,令y=0,得a=1-

2
k
,截距之和 a+b=3+[(-k)+
2
−k
]≥3+2
(−k)( −
2
k
)
=3+2
2
.当且仅当-k=
2
−k
,k=-
2
时,取得最小值,
此时直线方程为 y-2=
2
(x-1),整理得 y=
2
x+
2
+2.