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设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜1/a． （1）a=1/2，b=0，c=3/8，求x12+x22的值 （2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜x1

分类: 作业答案 • 2021-11-12 23:58:07
问题描述：

设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜

1
a
．
（1）a=
1
2
，b=0，c=
3
8
，求x12+x22的值
（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜
x1
2

（3）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1．

答

（1）f(x)−x＝

1
2
x2−x+
3
8
＝0⇒x1x2＝
3
4
，x1+x2＝2，
∴
x 21
+
x 22
＝(x1+x2)2−2x1x2=
5
2
------（3分） 
（2）∵x0＝−
b
2a
---------（4分）      
∴x0+
1
2a
＝−
b−1
2a
＝
1
2
(x1+x2)----------（6分）
∵x2＜
1
a
⇒
x2
2
＜
1
2a
，
∴
1
2
x1+
1
2
x2＜
1
2
x1+
1
2a
⇒x0+
1
2a
＜
1
2
x1+
1
2a
，
∴x0＜
x1
2
----------------（8分）
（3）设f（x）-x=a（x-x1）（x-x2）----------（9分）        
∵x∈（0，x1）∴x-x1＜0，x-x2＜0，a＞0，
∴f（x）-x＞0⇒x＜f（x）--------（11分）
f（x）-x1=f（x）-x+x-x1=a（x-x1）（x-x2）+（x-x1）=（x-x1）[a（x-x2）+1]--------（13分）
∵−
1
a
＜x−x2＜0∴−1＜a(x−x2)＜0⇒f(x)−x1＜0⇒f(x)＜x1--------（14分）

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