已知函数f （x）=x3+3/2（1-a）x2-3ax+1，a＞0． （Ⅰ） 证明：对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有-1≤f （x）≤1； （Ⅱ） 设（Ⅰ）中的p的最大值为g（a），求g（a）的最大值．
问题描述：
已知函数f （x）=x3+
（1-a）x2-3ax+1，a＞0．3 2
（Ⅰ） 证明：对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有-1≤f （x）≤1；
（Ⅱ） 设（Ⅰ）中的p的最大值为g（a），求g（a）的最大值．
答
（Ⅰ） 由于 f′（x）=3x2+3（1-a）x-3a=3（x+1）（x-a），且a＞0，
故f （x）在[0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．
又f （0）=1，f （a）=-
a3-1 2
a2+1=3 2
（1-a）（a+2）2-1．1 2
当f （a）≥-1时，取p=a．
此时，当x∈[0，p]时有-1≤f （x）≤1成立．
当f （a）＜-1时，由于f （0）+1=2＞0，f （a）+1＜0，
故存在p∈（0，a）使得f （p）+1=0．
此时，当x∈[0，p]时有-1≤f （x）≤1成立．
综上，对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有-1≤f （x）≤1．
…（7分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f （x）在[0，+∞）上的最小值为f （a）．
当0＜a≤1时，f （a）≥-1，则g（a）是方程f （p）=1满足p＞a的实根，
即2p2+3（1-a）p-6a=0满足p＞a的实根，所以
g（a）=
．3(a-1)+
9a2+30a+9
4
又g（a）在（0，1]上单调递增，故
g（a）max=g（1）=
．
3
当a＞1时，f （a）＜-1．
由于f （0）=1，f （1）=
（1-a）-1＜-1，故9 2
[0，p]⊂[0，1]．
此时，g（a）≤1．
综上所述，g（a）的最大值为
．
3
…（14分）