一直困扰我的三道数学题（高中）,1、已知函数f(x)=X²+2x+1,若存在实数t,当x∈[1,m]时,f(x+t)≤x恒成立,则实数m的最大值是多少?2、已知函数f(x)=pX²-2x+q(p≠0,0≤x≤1)的最小值是1,求以p表示q的解析式q=f(p).3、已知函数f(x)=X²+mx+n的图象过点(1,3),且f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于原点对称.求y=g(x)与y=f(x)的解析式.

1、m的最大值是 -1.

因根号不会输，所以就用字来代替了
1、解:因f(x+t)≤x恒成立
则（x+t)²+2(x+t)+1≤x也恒成立
化简得X²+(2t+1)x+(t+1)²≤0
(-(2t+1)-根号(-4t-3))/2≤x≤(-(2t+1)+根号(-4t-3))/2
因x∈[1,m]
所以(-(2t+1)-根号(-4t-3))/2=1 (-(2t+1)+根号(-4t-3))/2=m
解得t=-1或-3 -1舍去
把t=-3带入上式可求得m=4
2、当p=0时 f(x)=-2x+q
则当x=1时 f(x)最小 即-2*1+q=1
q=3

当p＞0时 -b/2a=-(-2)/2p=1/p
这时当0≤1/p≤1即p≥1时 最小值为(4ac-b²)/4a=(4pq-4)/4p=1
化简得q=(p+1)/p
当1/p＞1即当p＜1时 x=1 f(x)最小即p-2+q=1
化简得q=3-p

当p＜0时 则1/p＜0
所以当x=1时 f(x)最小即p-2+q=1
也是q=3-p

终上所述
q=3 (p=0)
q= (p+1)/p (p≥1)
q=3-p (p＜1)
3、由题可知 1²+m+n=3 即m+n=2
由f(-1+x)=f(-1-x)对任何实数都成立可知
f(x)的函数图象向右平移一个单位与f(-x)的函数图象向右平移一个 单位后两图形重合可知f(x)的函数图象与f(-x)的函数图象移动前就 重合的
又因f(x)的函数图象和f(-x)的函数图象是关于y轴对称的
所以f(x)的函数图象关于y轴对称
则-b/2a=-m/2=0 m=0
所以n=2
所以f(x)=x²+2
因y=g(x)与y=f(x)
则g(x)=-f(-x)
所以g(x)=-((-x)²+2)
即g(x)=- x²-2

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2、解:因为F(X)=pX²-2x+q=p(X-1/p)²+q-1/p的最小值为1,所以当X=1/p时 q-1/p=1, 所以P=1/(q-1), 又F(p)=p3-2p+q, 把P=1/(q-1)代入可得结果,(p3为p的立方)

1.此题若用纯代数方法解,计算量大且不容易理解,可用图像求解.
作出y=f(x)和y=x的图像.f(x)=x²+2x+1=(x+1)²,即将y=x²的图像向左平移了1个单位,而f(x+t)是将此图像又向左或向右平移了.但如果要满足
f(x+t)≤x,则y=f(x)的图像必须向右平移(t=x衡成立了.要使当x∈[1,m]时,f(x+t)≤x恒成立,就必须
向右平移使f(x+t)的图像有一段在y=x图像的下方.
我们向右一点一点平移y=f(x+t),发现当f(x+t)与y=x相交的左交点横坐标
x为1时,其右交点距x=1最远,就是m能取得最大值.
经此分析,问题比较简单了.左交点根据y=x可知坐标为(1,1),
f(x+t)=(x+t)²+2(x+t)+1=x²+(2t+2)x+(t²+2t+1),代入x=1,y=1,解得：t=-3.
所以：y=f(x+t)=f(x-3)=(x-2)².与y=x联立,解得：另一交点为(4,4).
所以：m 的最大值为4.
2.由题意,f(x)对称轴为x=1/p.
当p>0时,分两类讨论
(1)当1/p >=1 即 0