两个正整数之和为667,其最小公倍数是它们的最大公约数的120倍,那么满足条件的正整数有（ ）组
问题描述：
两个正整数之和为667,其最小公倍数是它们的最大公约数的120倍,那么满足条件的正整数有（ ）组
答案我是知道了,这个过程中为什么要把667和120分解质因数高手们教教我吧
答
显然这两个数不互质
【互质则最大公约数1,最小公倍数=两数之积=120,和不可能=667】
因此这两数有最大公约数K,K>1
令这两个数为AK、BK,A、B互质
有最小公倍数 = A*B*K = 120K
A * B = 120 且A、B互质.
120=2^3×3×5 ,显然因数2只能属于其中1个数,而不能同时属于两个数.
即可令这两个数为 8a * K、B * K
8aK + BK = K(8a + B) = 667=1×23×29
因此显然有如下可能：
①K = 23
8a + B = 29
a、K由3、5构成
则a = 3,B = 5
这两个数是 8*3*23 = 552、5*23 = 115
②K = 29
8a + B = 23
a、K由3、5构成
则a = 1,B = 15
这两个数是 8*1*29 = 232、3*5*29 = 435
综上,符合条件的有两组：
115和552；
232和435听不太懂，能通俗点嘛，那个8a的8是哪儿来的120=8×3×5，因数2不可能分给两个数都有，否则A、B就不互质、K就不是所谓最大公约数了。因此8只能派给其中一个数。