f（1）=2∫xf（x）dx中的
问题描述：
f（1）=2∫xf（x）dx中的
积分上限是0.5
积分下限是0
设f（x）在[0,1]上可导,且满足条件f（1）=2∫xf（x）dx.试证：存在§∈（0,1）,使得f（§）+f‘（§）=0.
答
怎么觉得是f（§）+§f‘（§）=0呢?设f（x）在[0,1]上可导，且满足条件f（1）=2∫xf（x）dx。试证：存在§∈（0,1），使得f（§）+§f‘（§）=0。真被我说猜了啊？？设辅助函数F（x）=x*f(x),则F(1)=f(1).因f（1）=2∫xf（x）dx，由积分中值定理有，存在a∈[0,0.5]，使得2af(a)*(0.5-0)=2∫xf（x）dx=f(1),即F(a)=f(1)=F(1)，于是运用微分中值定理中的Rolle(罗尔)定理，则存在§∈（a,1），使得F'(§)=f（§）+§f‘（§）=0。从而命题得证。参考：①积分中值定理：若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,，则在积分区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立 ∫ f(x)dx=f(ξ)(b-a) （ a≤ ξ≤ b) ②罗尔定理：如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a