f(1)=2∫xf(x)dx中的

问题描述:

f(1)=2∫xf(x)dx中的
积分上限是0.5
积分下限是0
设f(x)在[0,1]上可导,且满足条件f(1)=2∫xf(x)dx.试证:存在§∈(0,1),使得f(§)+f‘(§)=0.

怎么觉得是f(§)+§f‘(§)=0呢?设f(x)在[0,1]上可导,且满足条件f(1)=2∫xf(x)dx。试证:存在§∈(0,1),使得f(§)+§f‘(§)=0。真被我说猜了啊??设辅助函数F(x)=x*f(x),则F(1)=f(1).因f(1)=2∫xf(x)dx,由积分中值定理有,存在a∈[0,0.5],使得2af(a)*(0.5-0)=2∫xf(x)dx=f(1),即F(a)=f(1)=F(1),于是运用微分中值定理中的Rolle(罗尔)定理,则存在§∈(a,1),使得F'(§)=f(§)+§f‘(§)=0。从而命题得证。参考:①积分中值定理:若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,,则在积分区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ,使下式成立 ∫ f(x)dx=f(ξ)(b-a) ( a≤ ξ≤ b) ②罗尔定理:如果函数f(x)满足:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b), 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a