如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，若AD+BC=42cm． 求：（1）对角线AC的长； （2）梯形ABCD的面积．
问题描述：
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，若AD+BC=4
2
cm．
求：（1）对角线AC的长；
（2）梯形ABCD的面积．
答
过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点．
（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，
∴四边形ACED为平行四边形，AC=DE，AD=CE，
∵AB=CD，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD，
∴BD=DE，
又AC⊥BD，
∴∠BOC=90°
∵AC∥DE
∠BDE=90°，
∵BE=BC+CE=BC+AD=4
，
2
根据勾股定理得：BD2+DE2=BE2，
即2BD2=（4
）2，
2
解得BD=4，
即AC=4cm；
（2）∵AC⊥BD，AC=BD=4，
∴S梯形ABCD=
×AC×BD=8cm2．1 2