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在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c且（a+b+c）（a-b+c）=ac．（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）若b＝27，S△ABC＝23，求a，c的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 17:36:19

问题描述：

在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c且（a+b+c）（a-b+c）=ac．
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）若b＝2

7

，S△ABC＝2

3

，求a，c的值．

答

（Ⅰ）由（a+b+c）（a-b+c）=ac，
整理得（a+c）²-b²=ac，
即a²+c²-b²=-ac，
∴cosB=

a2+c2−b2

2ac

=

−ac

2ac

=-

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴B=

2π

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sinB=

3

2

，
∵S_△ABC=2

3

，
∴

1

2

acsinB=

1

2

ac×

3

2

=2

3

，即ac=8①，
∵b=2

7

，cosB=-

1

2

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
即28=a²+c²+ac，即（a+c）²-ac=28，
把ac=8代入可得：（a+c）²-8=28，
即（a+c）²=36，
∴a+c=6②，
联立①②可解得a=2，c=4或a=4，c=2．