若A,B都是正规矩阵,且AB=BA,如何证明“AB和BA都是正规矩阵”
问题描述：
若A,B都是正规矩阵,且AB=BA,如何证明“AB和BA都是正规矩阵”
答
一个矩阵A是正规阵的充要条件是存在矩阵X,使得X*AX是对角阵.其中X*是X的共轭转置.
于是存在矩阵X,Y使得X*AX=K,Y*BY=J,其中K,J是对角阵,且可记K＝diag(K1,K2,...,Kk),其中Ki与Kj的对角元互不相同,Ki＝aiE,E是单位阵.由AB＝BA知道
K(X*YJY*X)=(X*YJY*X)K,将X*YJY*X类似分块可知X*YJY*X是块对角阵,且对角块均可对角化.
于是K(X*YJY*X)=(X*YJY*X)K可对角化,即AB＝X(KX*YJY*X)X*可对角化,是正规阵.同理可证BA是正规矩阵根据这个 存在矩阵X，Y使得X*AX=K，Y*BY=J推理