怎么求一个体在各平面上的投影?

“我们的世界是几维的?”
“三维的!”
“你能想象出四维世界吗?”
小孩子挠挠头答不上来.
是的,对于生活在三维空间的人类来说,四维世界是很神秘的概念.正像生活在二维世界里的小人（如果存在）很难想象三维世界一样,我们同样难于想象四维世界.不过也正像我们可以通过研究三维物体在二维物体上的投影来研究想象三维物体一样,我们也可以通过四维物体在三维世界中的立体图形投影来研究四维世界.
图1所示的是一个立方体在二维世界中的投影.二维小人多多少少可以通过这些投影来想象那个“三维立方体”的神秘图形.他们可以数出这个立方体有8个顶点,12条边,6个面.不要被图2中古怪的玩艺儿所吓倒,它只不过是四维立方体在三维世界中的投影而已.我们称之为四维超正方体,我们可以想象出超正方体有16个顶点,32条棱,24个面,8个体（?!）
如果四维超正方体不太好想象的话,我们换成球试试吧.三维球嘛,无论从哪个方向投影在二维平面上都只是一个半经等同的圆形,这样我们就很容易想到四维球在三维世界中的投影只不过是一个半径等同的球了.如果还想要讨论得深入一些,不妨试试球穿越问题.比如说一个球穿过一个二维平面,二维小人会发现平面上凭空冒出一个慢慢变大的点,后来眼看着扩张成圆,又慢慢缩小成点,最后突然消失.如果这个令二维小人惊讶不已的事实让你并不觉得奇怪,那么以下的情形你定会吃惊不小；在你面前无中生有地出现一个点,扩成球又缩回点,再突然消失.多么神奇!其实这只不过是四维球穿越三维世界的情形.有了超球体,好奇的人们又想研究它的体积和表面积,由于数学知识所限,我们还不能求,但上了大学学了微积分,任何一个人都算出四维球的体积,表面积是,由此还可以推广到5维,6维直至n维,你能不能归纳出来呢?
研究四维世界难道只是出于人类的好奇心吗?就没有什么实际意义吗?在物理世界中我们为四维世界找到了合适的第4个轴****时间轴.但是,时间这个轴与其它三个轴是很不相同的.时间是用秒表来量度,空间是用尺子；空间中你可以来去*不受限制,可时间却“逝者如斯”,一去不返,只能前进,不能后退.
那么如何使时间尽量与空间等数呢?我们需要一个“标准速度”来转化.上次在《相对论》中我们知道了在任何参照系中光速是不变的,那么这就是一个再好不过的标准了,于是时间终于有了与其他轴相匹配的标度了.
人总是在追求更深的知识,不知是由于好奇还是别的什么,总之有了现实四维世界,人们又想求两点的四维距离了.由爱因斯坦相对论经过稀哩哗啦一通热闹的计算,我们又得出四维距离是.也许你并不喜欢用ict来标度,可也中能将就一下了.
其实,严格地说我有些偷懒.我并没有严格地按物理定律的发展来讲述四维世界的故事.事实上,是爱因斯坦先得了在相对论中的时空不变量x2+y2+z2-c2t2,后来才推出把ict当做一个四维轴就能得到现实生活中的四维世界了.
不过,科学是多元化的,无论你从哪里出发,终点总会趋向于一个.人类走了很多弯路,比如爱因斯坦从他的方程中就能直接得到动态膨胀宇宙的理论,却为了同守静态宇宙的理论而傻乎乎地加上一个平衡项,使垂手可得的宇宙大爆炸理论消然逝去,可又是人类大胆的猜测与假说,人类在探索的道路上又飞跃着沟壑.普朗克的量子假说,卢瑟福约原子模型,一个个想象的证实又使人类的科学不断地推进与发展.