已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′,求线段PP′中点M的轨迹.

问题描述:

已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′,求线段PP′中点M的轨迹.

由题意可得已知圆的方程为x2+y2=4.
设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
∵M是线段PP′的中点,
∴由中点坐标公式得x=x0y=

y0
2

即x0=x,y0=2y.
∵P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,
x02+y02=4  ①
将x0=x,y0=2y代入方程①得
x2+4y2=4,即
x2
4
+y2=1

∴点M的轨迹是一个椭圆.