设P为60°的二面角α-L-β内的一点,PA⊥平面α,PB⊥平面β,A,B为垂足,PA=4,PB=2,求p到棱l距离

过P作PC⊥L交L于C.
∵PA⊥平面α,∴AC是PC在平面α上的射影,又PC⊥L,∴由三垂线定理的逆定理,有：
AC⊥L.
∵PB⊥平面β,∴BC是PC在平面β上的射影,又PC⊥L,∴由三垂线定理的逆定理,有：
BC⊥L.
由AC⊥L、BC⊥L,得：∠ACB是二面角α－L－β的平面角,∴∠ACB＝60°.
由锐角三角函数定义,有：sin∠PCB＝PB/PC＝2/PC、sin∠PCA＝PA/PC＝4/PC.
∵∠ACB＝60°,∴∠PCB、∠PCA都是锐角,
∴cos∠PCB＝√［1－（sin∠PCB）^2］＝√（1－4/PC^2）,
　cos∠PCA＝√［1－（sin∠PCA）^2］＝√（1－16/PC^2）.
又cos∠ACB＝cos（∠PCB＋∠PCA）＝cos∠PCBcos∠PCA－sin∠PCBsin∠PCA＝cos60°,
∴［√（1－4/PC^2）］［√（1－16/PC^2）］－（2/PC）（4/PC）＝1/2.
令4/PC^2＝x,则：［√（1－x）］［√（1－4x）］－2x＝1/2,
∴［√（1－x）］［√（1－4x）］＝2x＋1/2,
两边平方,得：（1－x）（1－4x）＝4x^2＋2x＋1/4,　∴1－5x＋4x^2＝4x^2＋2x＋1/4,
∴7x＝1－1/4＝3/4,　∴x＝3/28,　∴4/PC^2＝3/28,　∴PC^2＝4×28/3,　∴PC＝4√21/3.
即点P到直线L的距离为 4√21/3.