已知函数f（x）=x3+2x，若f（cos2θ-2m）+f（2msinθ-2）＜0对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=x3+2x，若f（cos2θ-2m）+f（2msinθ-2）＜0对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．
答
∵f（x）的定义域为R，
∴f（x）在R上是奇函数且是增函数；
∵f（cos2θ-2m）＜-f（2msinθ-2）=f（2-2msinθ），
∴cos2θ-2m＜2-2msinθ，即cos2θ-2＜2m（1-sinθ），
（1）当sinθ=1时，∴-2＜0恒成立，∴m∈R；
（2）当sinθ≠1即1-sinθ＞0时，有2m＞
＝
cos2θ−2 1−sinθ
，设g(θ)＝−sin2θ−1 1−sinθ
＝−sin2θ−1 1−sinθ
＝−[(1−sinθ)+−(1−sinθ)2+2(1−sinθ)−2 1−sinθ
]+2，2 1−sinθ
∵1−sinθ＞0∴1−sinθ+
≥22 1−sinθ
当sinθ＝1−
2
时取等号，
2
∴g(θ)≤−2
+2，
2
∴2m＞2−2
，∴m＞1−
2
，
2
综上有：m的取值范围是(1−
，+∞）．
2