已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sinB,根号3),向量n=（2cos^2B/2-1,cos2B),且m⊥n,（1）求B的大小 （2）如果b=2,求△ABC的面积最大值
问题描述：
已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sinB,根号3),向量n=（2cos^2B/2-1,cos2B),且m⊥n,（1）求B的大小 （2）如果b=2,求△ABC的面积最大值
答
∵向量m=(2sinB,根号3),向量n=（2cos^2B/2-1,cos2B),
且m⊥n
∴m●n=0
即2sinB(2cos²B/2-1)+√3cos2B=0
∵2cos²B/2-1=cosB
∴2sinBcosB+√3cos2B=0
∴sin2B+√3cos2B=0
∴sin2B=-√3cos2B
∴tan2B=-√3
∵锐角△ABC中
∴2B=120º,B=60º
(2)
∵B=60º,b=2
根据余弦定理
b²=a²+c²-2accosB
∴4=a²+c²-ac
∵a²+c²≥2ac
∴4=a²+c²-ac≥ac
∴ac≤4
∴SΔABC=1/2acsinB=√3/4*ac≤√3
∴△ABC的面积最大值是√3