设二阶常系数线性微分方程y″+αy′+βy=γex的一个特解为y=e2x+（1+x）ex， 试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解．
问题描述：
设二阶常系数线性微分方程y″+αy′+βy=γex的一个特解为y=e2x+（1+x）ex，
试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解．
答
由：y=e2x+（1+x）ex得：
y′=2e2x+（2+x）ex，
y″=4e2x+（3+x）ex，
将y，y′，y″代入原微分方程，整理可得：
（4+2α+β）e2x +（1+α+β）xex+（3+2α+β-γ）ex=0，①
因为：y=e2x+（1+x）ex是方程的一个特解，
所以对于任意有定义的x，①式恒成立，
所以有：
．
4+2α+β＝0 1+α+β＝0 3+2α+β−γ＝0
解得：α=-3，β=2，γ=-1，
故原微分方程的具体表达式为：
y″-3y′+2y=-ex，
其对应齐次方程的特征方程为：
λ2-3λ+2=0，
求得特征值为：λ1=1，λ2=2，
对应齐次方程的通解为：
=C1ex+C2e2x，. y
又因为：非齐次项为-ex，且λ=1为特征根，
所以：可设原微分方程的特解为 y*=Axex，
代入原微分方程可得：A=1，
所以：y*=xex，
由线性微分方程解的结构定理得原方程的通解为：
y=
+y*=C1ex+C2e2x+xex．. y