关于考研数学求二阶常系数非齐次线性微分方程的问题已知方程为二阶常系数非齐次线性微分方程,并知其有两个特解：y1=cos2x-1/4xsin2x y2=sin2x-1/4xsin2x 现要求此方程的表达式 全书中设此方程通解为 y=C1*cos2x+C2*sin2x -1/4xsin2x 其中,C1、C2为任意常数 这里一直没搞明白,按照这种设法,cos2x以及sin2x应该是其相应齐次微分方程的特解,-1/4xsin2x 应该是此方程的一个 特解,但是题目没有给出这两个条件啊,
问题描述：
关于考研数学求二阶常系数非齐次线性微分方程的问题
已知方程为二阶常系数非齐次线性微分方程,并知其有两个特解：y1=cos2x-1/4xsin2x y2=sin2x-1/4xsin2x 现要求此方程的表达式 全书中设此方程通解为 y=C1*cos2x+C2*sin2x -1/4xsin2x 其中,C1、C2为任意常数 这里一直没搞明白,按照这种设法,cos2x以及sin2x应该是其相应齐次微分方程的特解,-1/4xsin2x 应该是此方程的一个 特解,但是题目没有给出这两个条件啊,
答
y1 = cos(2x) - 1/4 sin(2x)
y2 = sin(2x) - 1/4 sin(2x)
则y1-y2=cos(2x)-sin(2x)为对应的齐次微分方程的解.
因此,两个特征值必定是共轭的.对应齐次微分方程的解必定是C1 cos(2x) + C2 sin(2x)