已知双曲线C的焦点F1(-5,0),F2(5,0),长轴长为6
问题描述：
已知双曲线C的焦点F1(-5,0),F2(5,0),长轴长为6
(1)设直线y=x+2交双曲线C于A,B两点,求线段AB的中点坐标..(2)若直线y=kx+2与该双曲线有一个交点,求k的取值范围.(3)若直线y=kx+2与该双曲线的一支有两个交点,交点分别是A、B,求k的取值范围
答
(1)c=5,实轴长2a=6,a=3,
∴b^2=c^2-a^2=16,
∴双曲线C:x^2/9-y^2/16=1.①
把y=x+2,②
代入①*144,16x^2-9(x^2+4x+4)=144,
整理得7x^2-36x-180=0,
∴线段AB的中点M坐标：x=(x1+x2)/2=(36/7)/2=18/7,代入②,y=32/7,即M(18/7,32/7).
(2)把y=kx+2代入①*144,16x^2-9(k^2x^2+4kx+4)=144,
(16-9k^2)x^2-36kx-180=0,③
依题意16-9k^2=0,或△/16=81k^2+45(16-9k^2)=0,
解得k=土4/3,或土2√5/3.
(3)由△/16>0得k^2由③,x1x2=-180/(16-9k^2)>0,k^2由④,⑤,-4/3