如图1，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，交BC于点K，过CB延长线上一点E作∠EAB=∠ACE． （1）求证：AE为⊙O的切线；（2）如图2，连BD，若∠E=∠DAB，BK/BD=3/5，DK=25，求⊙O的半径．
问题描述：
如图1，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，交BC于点K，过CB延长线上一点E作∠EAB=∠ACE．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）如图2，连BD，若∠E=∠DAB，
=BK BD
，DK=23 5
，求⊙O的半径．
5
答
（1）证明：如图1，连接OA、OD．
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD．
∴
=CD
．BD
又∵∠EAB=∠C，∠CKD=∠C+∠CAD，
∴∠CKD=∠KAE
又∵
=CD
，BD
∴由垂径定理得OD⊥BC，
∴∠CKD+∠ODA=90°，
又OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD+∠KAE=90°，即OA⊥AE．
∵OA是半径，
∴AE为⊙O的切线；
（2）如图2，连接CD、OC、OD
∵∠E=∠DAB，
∴∠KBA=∠KAE=∠CDK，由（1）证得了∠CKD=∠KAE，
∴∠CKD=∠CDK，
∴CD=CK
∴设BK=3t，则BD=CD=CK=5t，由垂径定理得BH=CH=4t，
∴HK=t，
在Rt△DHC中，根据勾股定理可得DH=3t
在Rt△DHK中，根据勾股定理得DH2+HK2=DK2，
即（3t）2+t2=（2
）2，
5
解得t=
．
2
在Rt△OCH中，设OC=r，OH=r-3
，CH=4
2
，
2
由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，
即（r-3
）2+（4
2
）2=r2，解得r=
2
25 6
．
2