已知如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于D，交AC于E．过D点作⊙O的切线FG交AC于F，交AB的延长线于G，连接AD．若AB：BG=3：1，FG⊥AC．（1）求证：AD平分∠CAB；（2）若GD=4，求BD；（3）求AE：EF：FC．
问题描述：
已知如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于D，交AC于E．过D点作⊙O的切线FG交AC
于F，交AB的延长线于G，连接AD．若AB：BG=3：1，FG⊥AC．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若GD=4，求BD；
（3）求AE：EF：FC．
答
（1）证明：∵GF是切线，∴OD⊥GF∴∠ODF=90°即∠ODA+∠ADF=90°∵GF⊥AC∴∠AFG=90°即∠ADF+∠DAC=90°∴∠ODA=∠DAC∵∠ODA=∠OAD∴∠DAC=∠ODA∴AD平分∠CAB；（2）∵GD是⊙O的切线，由切割线定理得：GD2=GB•G...
答案解析：（1）因为GF是⊙O的切线，D为切点，得到OD⊥GF，可以得到∠ODA=∠DAC，又∠ODA=∠OAD而证明AD平分∠CAB．
（2）由切割线定理可以求出AB，BG，再利用三角形相似可以求出BD：AD的比值，最后利用勾股定理在Rt△ABD中求出BD的长．
（3）证明了AD平分∠BAC，而AD⊥BC，可以证明BD=CD，又GF⊥AC得GF∥BE，得F为EC的中点，从而求出AE：EF：FC的值．
考试点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理．
知识点：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，圆周角定理，平行线等分线段定理等知识点．