如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，D是⊙O上一点，CD=CB，连AD，OC，OC交⊙O于E，交BD于P．（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求证：∠BCD=2∠ABD；（3）求证：E是△BCD的内心；（4）若∠BCD=60°，求EFCE的值．
问题描述：
如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，D是⊙O上一点，CD=CB，连AD，OC，OC交⊙O于E，交BD于P．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：∠BCD=2∠ABD；
（3）求证：E是△BCD的内心；
（4）若∠BCD=60°，求
的值．EF CE
答
（1）证明：连接OD，在△OCD和△OCB中，CD=CBOC=OCOD=OB，∴△OCD≌△OBC（SSS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，即∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）证明：∵CD与BC都是⊙O...
答案解析：（1）首先连接OD，易证得△OCD≌△OBC，又由BC是⊙O的切线，即可证得CD是⊙O的切线；
（2）由切线长定理，可得∠OCB+∠CBD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，即可证得∠OCB=∠ABD=
∠BCD；1 2
（3）由垂径定理易证得
=DE
，由圆周角定理可得∠DBE=BE
∠BOE，继而可得点E是△BCD的角平分线的交点，即可得E是△BCD的内心；1 2
（4）易得△BCD是等边三角形，则可知E是△ABC的中线的交点，即可求得
的值．EF CE
考试点：三角形的内切圆与内心；切线的性质．
知识点：此题考查了切线的性质、切线长定理、圆的内心的性质、垂径定理、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．