设函数f(x)是二次多项式,证明f(x)=f ''(a)/2*(x-a)^2+f '(a)(x-a)+f(a)
问题描述：
设函数f(x)是二次多项式,证明f(x)=f ''(a)/2*(x-a)^2+f '(a)(x-a)+f(a)
答
函数f(x)是二次多项式.设y=f(x)=kx²+mx+c,则f'(x)=2kx+m,f"(x)=2k 当点x=a时,有f‘(a)=2ka+m,f"(a)=2k.
所以,k=f"(a)/2及f'(a)=2a[f"(a)/2]+m=af"(a)+m,所以,m=f'(a)-af"(a).
又f(a)=ka²+ma+c=[f"(a)/2]a²+[f'(a)-af"(a)]a+c,所以,c=f(a)-[f"(a)/2]a²-[f'(a)-af"(a)]a.
所以f(x)=[f"(a)/2]x²+[f'(a)-af"(a)]x+{f(a)-[f"(a)/2]a²-[f'(a)-af"(a)]a}
=[f"(a)/2](x²-2ax+a²)+f'(a)(x-a)+f(a)=[f"(a)/2](x-a)²+f'(a)(x-a)+f(a).
故f(x)=[f"(a)/2](x-a)²+f'(a)(x-a)+f(a).我从导数的定义入手没证出来，没想过从二次多项式下手，谢谢了