在三角形ABC中,已知向量 AB*CA=BA*CB=-1,求证三角形ABC是等腰三角形,求AB的长,若向量AB+AC的模=根号6,求三角形的面积,知多少写多少吧.
问题描述：
在三角形ABC中,已知向量 AB*CA=BA*CB=-1,求证三角形ABC是等腰三角形,求AB的长,若向量AB+AC的模=根号6,
求三角形的面积,知多少写多少吧.
答
AB•CA=BA•CB=-AB•CB
故 AB•CA+AB•CB＝0
AB•(CA+CB)/2=0
设D为AB中点,则CD=(CA+CB)/2
故AB•CD=0
于是AB⊥CD
CD既是中线,又是高线,
故三角形ABC是等腰三角形,CA=CB
-1=AB•CA=AB•(CD+DA)=AB•CD+AB•DA=0+AB•((-1/2)AB)
=(-1/2)AB•AB=(-1/2)|AB|^2
|AB|=根号2
AB+AC=AB+AD+DC=3/2AB+DC
根号6=|AB+AC|=|3/2AB+DC|
由于AB⊥CD,故由勾股定理
(根号6)^2=|3/2AB+DC|^2=|3/2AB|^2+|DC|^2=9/2+|DC|^2
解得 |DC|=根号1.5
三角形ABC的面积=|AB||CD|/2=(根号2)*(根号1.5)/2=(根号3)/2