设实数a、b、c成等比数列,非零实数x、y分别为a与b,b与c的等差中项,求证:a/x+c/y=2.

问题描述:

设实数a、b、c成等比数列,非零实数x、y分别为a与b,b与c的等差中项,求证:

a
x
+
c
y
=2.

证明:因为a,b,c成等比数列
所以  b2=ac①
又x,y分别为a与b,b与c的等差中项
所以    2x=a+b,2y=b+c②
要证   

a
x
+
c
y
=2
只要证  ay+cx=2xy
只要证  2ay+2cx=4xy
由①②得   2ay+2cx=a(b+c)+c(a+b)=ab+2ac+bc;
而4xy=(a+b)(b+c)=ab+b2+ac+bc=ab+2ac+bc成立.
所以命题得证.