已知:正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠BAC的平分线AF交BD于点E,交BC于点F, 求证:OE=1/2CF.

问题描述:

已知:正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠BAC的平分线AF交BD于点E,交BC于点F,
求证:OE=

1
2
CF.

证明:取AF的中点G,连接OG,
∵O、G分别是AC、AF的中点,
∴OG=

1
2
FC,OG∥FC(三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半),
∵正方形ABCD,
∴∠OAB=∠ABO=∠OCB=45°,
∵AF平分∠BAC,
∴∠BAF=∠OAF=22.5°,
∴∠GEO=90°-22.5°=67.5°,
∵GO∥FC,
∴∠AOG=∠OCB=45°,
∴∠OGE=67.5°,
∴∠GEO=∠OGE,
∴GO=OE,
∴OE=
1
2
FC.