设a,b,c都是奇数,证明方程ax²+bx+c=0没有有理根
问题描述：
设a,b,c都是奇数,证明方程ax²+bx+c=0没有有理根
答
假设方程有有理根
那么b²-4ac是平方数
设b²-4ac=k²
(b-k)(b+k)=4ac
因为b^2-4ac为奇数，所以k为奇数
不妨设b=2m-1,k=2n-1
(b-k)(b+k)=4(m-n)(m+n-1)
(m-n)+(m+n-1)=2m-1为奇数
因此(m-n)，(m+n-1)中有一个是偶数
因此2整除(m-n)(m+n-1)，那么8整除4(m-n)(m+n-1)=(b-k)(b+k)=4ac
即2整除ac
而ac为奇数，矛盾
答
假设这个方程的有理根x=d/f d和f互质代入得ad^2 /f^2 +bd/f +c=0即ad^2+bdf+cf^2=0假设d为奇数那么ad^2为奇数bd为奇数因为ad^2+bdf+cf^2=0 0是偶数 ad^2为奇数所以bdf项和cf^2 项有一个是奇数 有一个是偶数若bdf是奇...