二次方程ax2-2bx+c=0，其中a、b、c是一钝角三角形的三边，且以b为最长． ①证明方程有两个不等实根； ②证明两个实根α，β都是正数； ③若a=c，试求|α-β|的变化范围．
问题描述：
二次方程ax2-
bx+c=0，其中a、b、c是一钝角三角形的三边，且以b为最长．
2
①证明方程有两个不等实根；
②证明两个实根α，β都是正数；
③若a=c，试求|α-β|的变化范围．
答
①在钝角△ABC中，b边最长．∴−1＜cosB＜0且b2＝a2+c2−2accosB，△＝(−
b)2−4ac＝2b2−4ac
2
=2（a2+c2-2accosB）-4ac=2（a-c）2-4accosB＞0．（其中2（a-c）2≥0且-4accosB＞0
∴方程有两个不相等的实根．
②α+β＝
＞0，αβ＝
b
2
a
＞0，∴两实根α、β都是正数．c a
③a=c时，
，∴(α−β)2＝a2+β2−2αβ＝(α+β)2−4αβ＝
α+β＝
b
2
a αβ＝
＝1c a
−42b2
a2
=
＝−4cosB，∵−1＜cosB＜0，∴0＜−4cosB＜4，因此0＜|α−β|＜2．2(a2+c2−2accosB)−4a2
a2