已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0,求实数p的取值范围.
问题描述:
已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0,求实数p的取值范围.
答
二次函数f(x)在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0的否定是:
对于区间[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0,
∴
f(1)≤0 f(−1)≤0
即
4−2(p−2)−2p2−p+1≤0 4+2(p−2)−2p2−p+1≤0
整理得
2p2+3p−9≥0 2p2−p−1≥0
解得p≥
,或p≤-3,3 2
∴二次函数在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,
使f(c)>0的实数p的取值范围是(−3,
).3 2