【高二数学】椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正...【高二数学】椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两边,求离心率为多少?
问题描述：
【高二数学】椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正...
【高二数学】椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两边,求离心率为多少?
答
正三角形边长为2c
点到焦点的距离与到准线x=a^2/c的距离之比为离心率e=c/a
即c/(a^2/c-c/2)=c/a
2c^2/(2a^2-c^2)=c/a
2ac=2a^2-c^2
c^2+2ac-2a^2=0
c/a=-1±√3
取正数，c/a=√3-1
答
由题可得：正三角形的边长为2c，所以有a=2c,所以离心率e=c/a=0.5
答
设三角形与椭圆交于一点E,E坐标为（c／2,√(3)c／2）代入椭圆表达式a^2－b^2=c^2
化简：4a^4＋c^4－8a^2c^2＝0两边同除以a^4
e^4－8e^2＋4＝0
得e^2＝4－2√(3),e＝√(3)－1
答
画图可知正三角形的边长为2c，取椭圆与正三角形的那个交点看，
不难得出，c+√3c=2a
所以离心率为√3-1