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高二数学圆锥曲线（椭圆）设F1,F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点,P是椭圆上任意点,若角F1PF2=2θ,求证：PF1*PF2*(cosθ)^2为定值

分类: 作业答案 • 2022-08-06 21:43:37
问题描述：

高二数学圆锥曲线（椭圆）
设F1,F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点,P是椭圆上任意点,若角F1PF2=2θ,求证：PF1*PF2*(cosθ)^2为定值

答

cos2θ=（PF1^2+PF2^2-4c^2）/2PF1PF2
cos2θ=2cos^2θ-1
PF1PF2cos^2θ=(PF1^2+PF2^2-4c^2)/4+1/2PF1PF2
=(PF1^2+PF2^2+2PF1PF2)/4-c^2
=(PF1+PF2)^2/4-c^2
=4a^2/4-c^2
=b^2

答

cos2θ=（PF1^2+PF2^2-4c^2）/2PF1PF2
cos2θ=2cos^2θ-1
PF1PF2cos^2θ=(PF1^2+PF2^2-4c^2)/4+1/2PF1PF2
=(PF1^2+PF2^2+2PF1PF2)/4-c^2
=(PF1+PF2)^2/4-c^2
=4a^2/4-c^2
=b^2
所以PF1*PF2*(cosθ)^2为定值

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