过椭圆2x^2+y^2=2的焦点F的直线L交椭圆于A、B两点,求△ABO（O为原点）的面积的最大值.
问题描述：
过椭圆2x^2+y^2=2的焦点F的直线L交椭圆于A、B两点,求△ABO（O为原点）的面积的最大值.
答
因为F坐标为（0，1）
设直线方程为 y-1=kx ①
椭圆方程为 2x²+y²=2 ②
消去 y 得 （k²+2)x²+2kx-1=0
由韦达定理 x1+x2=-2k/k²+2
x1*x2=-1/k²+2
原点到线段AB距离为d=1/√k²+1
S△AOB=1/2*d*|AB|=1/2*1/√k²+1*√k²+1*|x1-x2|=1/2*√（x1+x2)²-4x1x2=1/2*√4k²/(k²+2)²+4/k²+2=1/2*√8k²+8/k²+2=1/2*√8*1*（k²+1)/k²+2 ≤ 1/2*√8*（k²+2)/2(k²+2)=1/2*√8/2=√2/2
故 S△AOBmax=√2/2
答
（√2）/2
建议先画个图
由题意设F坐标为（0,1）A（x1,y1）B（x2,y2）x1=1
则x2-x1=√(8t/(t^2+2t+1))
=√(8/(t+2+1/t))
因为t+1/t>=2（当且仅当t=1即k=0时取到）,代入上式
因此x2-x1