如图，O是正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．（1）求证：①△BCE≌△DCF；②BG⊥DF．（2）OG与BF有什么关系？证明你的结论

问题描述：

如图，O是正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．

（1）求证：①△BCE≌△DCF；②BG⊥DF．
（2）OG与BF有什么关系？证明你的结论；
（3）若正方形ABCD的面积为1，求CE的长．（结果保留根号）

答

（1）证明：①∵正方形ABCD中，BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠DCF=90°，
∴∠DCF=90°=∠BCD，
∵在△BCD和△DCF中，

BC=DC

∠BCD=∠DCF

CE=CF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
②∵△BCE≌△DCF，
∴∠1=∠F，
∵∠BCD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠F+∠2=90°，
∵D、G、F三点共线，
∴∠BGF+∠BGD=180°，

∴∠BGD=90°=∠BGF，
即BG⊥DF；
（2）OG

∥

BF
理由：∵BE平分∠DBC，
∴∠2=∠3，
在△BGD和△BGF中，

∠3=∠2

BG=BG

∠BGD=∠BGF

，
∴△BGD≌△BGF（ASA），
∴DG=GF，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴DO=OB，
∴OG是△DBF的中位线，
∴OG

∥

BF；
（3） ∵BE平分∠DBC，
∴∠3=∠2，
∵GO∥BF，
∴∠2=∠OGB，
∴∠3=∠OGB，
∴BO=GO，
∴OG=

BD，
∴BD=BF，
设EC=x，则BF=BC+CF=BC+CE=x+1，
∴BD=x+1，
∵∠BCD=90°，
∴BC²+CD²=BD²，
即1²+1²=（x+1）²，
解得x=

-1，
即EC=

-1．

如图，O是正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG． （1）求证：①△BCE≌△DCF；②BG⊥DF． （2）OG与BF有什么关系？证明你的结论