已知sin(2α+β)=3sinβ,其中α和α+β均不等于kπ+π/2(k∈Z)求证:tan(α+β)=2tanα

sin(2α+β)=3sinβ,
sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α]
sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα
4cos(α+β)sinα=2sin(α+β)cosα
sin(α+β)/cos(α+β)=2sinα/cosα
tan(α+β)=)=2tanα

sin(2α+β)=3sinβ
sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α]
sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα
即 2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα
sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα
又α≠kπ+π/2, α+β≠kπ+π/2, K∈Z
所以 cosα≠0, cos(α+β)≠0
所以 tan(α+β)=2tanα

令γ=α+β则 3sin(γ-α)=sin(γ+α)得 3sinγcosα-3cosγsinα=sinγcosα+cosγsinα即 2sinγcosα=4cosγsinα =>sinγ/cosγ=4sinα/2cosα tanγ=2tanα 即 得证tan(α+β)=2t...