如图,正六边形ABCDEF的边长为4,两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动,则顶点D到原点O的距离的最大值和最小值的乘积为_.

问题描述:

如图,正六边形ABCDEF的边长为4,两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动,则顶点D到原点O的距离的最大值和最小值的乘积为______.

当O、D、AB中点共线时,OD有最大值和最小值,
如图,BD=4

3
,BK=2,
∴DK=
BD2+BK2
=
52
,OK=BK=2,
∴OD的最大值为:2+
52

同理,把图象沿AB边翻折180°得最小值为:
52
-2,
∴顶点D到原点O的距离的最大值和最小值的乘积为:48.
故答案为:48.