如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点,是否存在一点E使△CDE的周长取得最小值?若存在,求点E的坐标并证明;若不存在,请说明理由.(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.

问题描述:

如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.
(1)若E为边OA上的一个动点,是否存在一点E使△CDE的周长取得最小值?若存在,求点E的坐标并证明;若不存在,请说明理由.
(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.

(1)如图,作点D关于x轴的对称点D',连接CD'与x轴交于点E,连接DE.(1分)
若在边OA上任取点E'(与点E不重合),连接CE'、DE'、D'E'.
由DE'+CE'=D'E'+CE'>CD'=D'E+CE=DE+CE,(3分)
可知△CDE的周长最小.
∵在矩形OACB中,OA=3,OB=4,D为OB的中点,
∴BC=3,D'O=DO=2,D'B=6.
∵OE∥BC,
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BC,(4分)

OE
BC
D′O
D′B

OE=
D′O•BC
D′B
2×3
6
=1
(5分)
∴点E的坐标为(1,0)(6分)
(2)如图,
作点D关于x轴的对称点D',在CB边上截取CG=2,连接D'G与x轴交于点E,在EA上截取EF=2(7分)
∵GC∥EF,GC=EF,
∴四边形GEFC为平行四边形,有GE=CF.
又DC、EF的长为定值,
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小(8分)
∵OE∥BC,
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG,有
OE
BG
D′O
D′B

OE=
D′O•BG
D′B
D′O•(BC−CG)
D′B
2×1
6
1
3
(9分)
OF=OE+EF=
1
3
+2=
7
3

∴点E的坐标为(
1
3
,0),点F的坐标为(
7
3
,0)(10分)
答案解析:(1)由于C、D是定点,则CD是定值,如果△CDE的周长最小,即DE+CE有最小值.为此,作点D关于x轴的对称点D',当点E在线段CD′上时,△CDE的周长最小;
(2)由于DC、EF的长为定值,如果四边形CDEF的周长最小,即DE+FC有最小值.为此,作点D关于x轴的对称点D',在CB边上截取CG=2,当点E在线段D′G上时,四边形CDEF的周长最小.
考试点:轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质;相似三角形的判定与性质.
知识点:此题主要考查轴对称--最短路线问题,解决此类问题,一般都是运用轴对称的性质,将求折线问题转化为求线段问题,其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边.