求幂级数∑(∞,n＝1)1/nx∧n的收敛域和函数
问题描述：
求幂级数∑(∞,n＝1)1/nx∧n的收敛域和函数
答
用柯西判别法可以判断收敛半径为1,另外在1处显然发散,在-1处为莱布尼茨型级数显然收敛,所以收敛域为[-1,1）,令S=∑(∞,n＝1)1/nx∧n,则S ′=∑(∞,n＝1)x∧(n-1)=1/(1-x)
所以S=∫1/(1-x)dx=-ln(1-x)+C,由S(0)=0可知C=0,
所以S=-ln(1-x)（端点-1处的值利用幂级数的连续性可知也满足这个式子）