已知F1、F2是椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点,过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形,其中∠BAF2=90°,求椭圆离心率.
问题描述：
已知F1、F2是椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点,过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形,其中∠BAF2=90°,求椭圆离心率.
利用椭圆的几何定义：到两定点距离之和为定长的点的轨迹.
假设AF1长为d
∴AF2长为2a－d
∵AF2＝AB
∴BF1长2a－2d.
又∵ABF2是等腰Rt△
∴BF2＝√2×AF2＝√2×（2a－d）
∴得到方程：
√2×（2a－d）＋（2a－2d）＝2a
解得d＝2（√2－1）a.
对Rt△F1AF2利用勾股定理：
F1F2＝√（36－24√2）×a＝2√3×（√2－1）×a.
∴离心率e＝F1F2/2a＝√3×（√2－1）＝√6－√3
F1F2＝√（36－24√2）×a＝2√3×（√2－1）×a.我想问√（36－24√2）怎么来的
答
F1F2=√(AF1^2+AF2^2)
而AF1=d=2(√2-1)a,AF2=2a-d=2(2-√2)a
代入上式,得到：
F1F2=√[4(2-2√2+1)+4(4-4√2+2)]=√(8-8√2+4+16-16√2+8)=√(36-24√2)
以上.