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已知函数f（x）=（log2x-2）（log4x-1/2），2≤x≤4 （1）求该函数的值域；（2）若f（x）≤mlog2x对于x∈[2，4]恒成立，求m的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 14:52:48

问题描述：

已知函数f（x）=（log₂x-2）（log₄x-

1

2

），2≤x≤4
（1）求该函数的值域；
（2）若f（x）≤mlog₂x对于x∈[2，4]恒成立，求m的取值范围．

答

（1）f（x）=（log₂x-2）（log₄x-

1

2

）
=

1

2

(log2x)2−

3

2

log2x+1，2≤x≤4
令t=log₂x，则y=

1

2

t2−

3

2

t+1=

1

2

(t−

3

2

)2−

1

8

，
∵2≤x≤4，∴1≤t≤2．
当t=

3

2

时，y_min=-

1

8

，当t=1，或t=2时，y_max=0．
∴函数的值域是[-

1

8

，0]．
（2）令t=log₂x，得

1

2

t2−

3

2

t+1≤mt对于1≤t≤2恒成立．
∴m≥

1

2

t+

1

t

−

3

2

对于t∈[1，2]恒成立，
设g（t）=

1

2

t+

1

t

−

3

2

，t∈[1，2]，
∴g（t）=

1

2

t+

1

t

−

3

2

=

1

2

(t+

2

t

)−

3

2

，
∵g（1）=0，g（2）=0，
∴g（t）_max=0，∴m≥0．
故m的取值范围是[0，+∞）．