已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，且 f（2+x）=f（2-x），且f（x）＞0的解集为（-2，c）． （Ⅰ）求f（x）的解析式． （Ⅱ）求f（x）在区间[m，m+1]的最大值记为h（m），并求h（m）的最大值．
问题描述：
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，且 f（2+x）=f（2-x），且f（x）＞0的解集为（-2，c）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式．
（Ⅱ）求f（x）在区间[m，m+1]的最大值记为h（m），并求h（m）的最大值．
答
（本小题共12分）
（Ⅰ）∵f（2+x）=f（2-x），∴函数的对称轴为x=2，
∵二次函数f（x）=ax2+bx+c，
∴−
＝2…①，b 2a
又f（x）＞0的解集为（-2，c）．
∴ax2+bx+c=0的两个根是-2，c；并且a＜0．
即4a-2b+c=0…②，ac2+bc+c=0…③，
解①②③，解得a=-
，b=2，c=6．1 2
∴函数的解析式为：f(x)＝−
x2+2x+6．1 2
（Ⅱ）f（x）在区间[m，m+1]的最大值记为h（m），
当m+1＜2即m＜1时，
f(x)＝−
x2+2x+6，在[m，m+1]上函数是增函数，1 2
函数的最大值为f（m+1）=−
m2+m+1 2
．15 2
当m＞2时，
f(x)＝−
x2+2x+6，在[m，m+1]上函数是减函数，1 2
函数的最大值为f(m)＝−
m2+2m+6．1 2
当m≤2≤m+1即1≤m≤2时，
f(x)＝−
x2+2x+6，在[m，m+1]上函数的最大值为f（2）=8．1 2
综上：h(m)＝
，
8，1≤m≤2 −
m2+2m+6，m＞21 2 −
m2+m+1 2
，m＜115 2
函数h（m）的图象为：
所以函数h（m）的最大值为8．