如图,在平面直角坐标系中,将一块腰长为5的等腰直角三角尺ABC放在第二象限,且斜靠在两坐标轴上,直角顶点C的坐标为(-1,0),点B的坐标为(-3,1),点B在抛物线y=ax2+ax-2上. (1)点

问题描述:

如图,在平面直角坐标系中,将一块腰长为

5
的等腰直角三角尺ABC放在第二象限,且斜靠在两坐标轴上,直角顶点C的坐标为(-1,0),点B的坐标为(-3,1),点B在抛物线y=ax2+ax-2上.

(1)点A的坐标为______;抛物线的关系式为______;
(2)设(1)中抛物线的顶点为D,求△DBC的面积;
(3)将三角尺ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°,到达△AB′C′的位置.请判断点B′、C′是否在(1)中的抛物线上,并说明理由.
【提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-
b
2a
,顶点坐标是(-
b
2a
4ac-b2
4a
)].

由题意得
(1)∵AC=,CO=1,
∴AO=

(
5
)2-12
=2,
∴A(0,2),
做BF⊥OC,
∵BC=AC,∠AOC=∠BFC,
∠CAO=∠BCF,
∴△BFC≌△COA,
∴CF=AO=2,
∴B(-3,1)
将B(-3,1)代入y=ax2+ax-2得:
1=9a-3a-2,
∴a=
1
2

∴y=
1
2
x2+
1
2
x-2.
(2)如图1,可求得抛物线的顶点(-
1
2
17
8
).
设直线BD的关系式为y=kx+b,将点B、D的坐标代入,
求得k=-
5
4
,b=-
11
4

∴BD的关系式为y=-
5
4
x-
11
4

设直线BD和x轴交点为E,则点E(
11
5
,0),CE=
6
5

∴△DBC的面积为SCBE+SCED=
1
2
×
6
5
×1+
1
2
×
6
5
×
17
8

=
15
8

(3)如图2,过点B′作B′M⊥y轴于点M,过点B作BN⊥y轴于点N,
过点C″作C″P⊥y轴于点P.(8分)
在Rt△AB′M与Rt△BAN中,
∵AB=AB′,∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM-∠AMB'-∠ANB,
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN.
∴B′M=AN=1,AM=BN=3,
∴B′(1,-1).
同理△AC′P≌△CAO,C′P=OA=2,AP=OC=1,可得点C′(2,1);
将点B′、C′的坐标代入y=
1
2
x2+
1
2
x-2,可知点B′、C′在抛物线上.
(事实上,点P与点N重合)