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如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角尺ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B的坐标为（-3，1），点B在抛物线y=ax2+ax-2上． （1）点

分类: 作业答案 • 2021-12-28 14:45:39
问题描述：

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为

5
的等腰直角三角尺ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B的坐标为（-3，1），点B在抛物线y=ax2+ax-2上．

（1）点A的坐标为______；抛物线的关系式为______；
（2）设（1）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
（3）将三角尺ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C′的位置．请判断点B′、C′是否在（1）中的抛物线上，并说明理由．
【提示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=-
b
2a
，顶点坐标是（-
b
2a
，
4ac-b2
4a
）]．

答

由题意得
（1）∵AC=，CO=1，
∴AO=

(
5
)2-12
=2，
∴A（0，2），
做BF⊥OC，
∵BC=AC，∠AOC=∠BFC，
∠CAO=∠BCF，
∴△BFC≌△COA，
∴CF=AO=2，
∴B（-3，1）
将B（-3，1）代入y=ax2+ax-2得：
1=9a-3a-2，
∴a=
1
2
，
∴y=
1
2
x2+
1
2
x-2．
（2）如图1，可求得抛物线的顶点（-
1
2
，
17
8
）．
设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入，
求得k=-
5
4
，b=-
11
4
，
∴BD的关系式为y=-
5
4
x-
11
4
．
设直线BD和x轴交点为E，则点E（
11
5
，0），CE=
6
5
．
∴△DBC的面积为SCBE+SCED=
1
2
×
6
5
×1+
1
2
×
6
5
×
17
8
，
=
15
8
．
（3）如图2，过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
过点C″作C″P⊥y轴于点P．（8分）
在Rt△AB′M与Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM-∠AMB'-∠ANB，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；
将点B′、C′的坐标代入y=
1
2
x2+
1
2
x-2，可知点B′、C′在抛物线上．
（事实上，点P与点N重合）

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