设函数f(x)=x^3-3ax+b(a不等于0)当b=3时,若过点(-2,1)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数a的取值范围

问题描述:

设函数f(x)=x^3-3ax+b(a不等于0)当b=3时,若过点(-2,1)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数a的取值范围

f(x)=x^3-3ax+3
f'(x)=3x^2-3a
设过点(-2,1)的y=f(x)切线的切点横坐标为x
则切线斜率为3x^2-3a
所以(x^3-3ax+3-1)/(x+2)=3x^2-3a
x^3-3ax+2=3x^3-3ax+6x^2-6a
2x^3+6x^2-6a-2=0
x^3+3x^2-3a-1=0
根据题意,上述一元三次方程需有三个不相同的实数根
判别式:A=9 B=9(3a+1)C=9(3a+1)
△=B^2-4AC[9(3a+1)]^2-4*9*[9(3a+1)](3a+1)^2-4(3a+1)(3a+1)(3a-3)(3a+1)(a-1)-1/3所以当-1/3