从小到大排列的三个数构成等比数列，它们的积为8，并且这三个数分别加上2、2、1后成等差数列{an}中的a3、a4、a5． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn=an+1an+anan+1，数列{bn}的前项和为
问题描述：
从小到大排列的三个数构成等比数列，它们的积为8，并且这三个数分别加上2、2、1后成等差数列{an}中的a3、a4、a5．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=
+
an+1 an
，数列{bn}的前项和为Tn，求Tn． an an+1
答
（Ⅰ）设小到大排列的三个数分别为
，a，aq，则a q
⋅a⋅aq＝a3＝8，解得a=2．所以这三个数为a q
，2，2q．这三个数分别加上2、2、1后为2 q
+2，4，2q+1，即a3＝2 q
+2，a4＝4，a5＝2q+1，2 q
又a3、a4、a5为等差数列，所以a3+a5=2a4，即
+2+2q+1＝2×4＝8，即2q2-5q+2=0．解得q=2或q=2 q
．1 2
因为三个数是从小到大成等比数列，所以q=
不成立，舍去，所以q=2．1 2
所以三个数为，1，2，4．即a3=3，a4=4，a5=5．
所以公差d=1，所以数列{an}的通项公式为an＝a3+(n−3)＝n，n∈N•．
（Ⅱ）因为bn＝
+an+1 an
＝an an+1
+n+1 n
＝2+n n+1
−1 n
，1 n+1
所以Tn＝(2+1−
)+(2+1 2
−1 2
)+…+(2+1 3
−1 n
)1 n+1
=2n+1−
+1 2
−1 2
+…+1 3
−1 n
＝2n+1−1 n+1
＝2n+1 n+1
．n n+1
即数列{bn}的前项和为Tn＝2n+
，n∈N•．n n+1